Oneindig veel torens voor een oneindige som

(waarin ik een oneindige som bereken door vooral veel te tekenen)

Begin januari zag ik deze tweet waarin Sander Claassen als @Wiskundelessen een oneindige som opgaf:

De formule is een ‘oneindige sommatie’ en betekent: \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{2^n} = \frac{0}{1} + \frac{1}{2} + \frac{4}{4} + \frac{9}{8} + \frac{16}{16} + \frac{25}{32} + \frac{36}{64} + ...

De drie puntjes betekenen: enzovoorts, want dit is een oneindige som, een optelling van oneindig veel termen. Elke term is een kwadraat gedeeld door een macht van 2, dus een positief getal. Er valt dus niets weg. Is het antwoord dan oneindig? Dat hoeft niet. Soms worden de termen in de loop van zo’n som snel genoeg kleiner, zodat de som van al die oneindig veel termen toch een gewoon, eindig getal is. In dit geval (spoiler!) is het antwoord 6. Maar hoe kan dat?

Hieronder laat ik zien hoe je de uitkomst van deze som in drie stappen kunt uittekenen (in plaats van uitrekenen). Er komen wel wat formules aan te pas, maar dat is meer een kwestie van boekhouden: netjes opschrijven wat we hebben. Om te beginnen noem ik de som S.

Stap 1: van kwadraten naar oneven getallen

screen-shot-2017-01-20-at-15-22-55

Figuur 1: kwadraten als som van oneven getallen

Een kwadraat is de oppervlakte van een vierkant: een vierkant met een zijde van bijvoorbeeld 2 cm heeft een oppervlakte van 2 x 2 = 4 vierkante cm. In dit plaatje zie je dat je een vierkant kunt opbouwen uit het vorige vierkant plus een randje aan de bovenkant en rechter zijkant. Als je de hokjes telt, zie je: 1^2 = 1, 2^2 = 1 + 3 =4, 3^2 = 1 + 3 + 5=9 . Het randje rechtsboven bestaat steeds uit een oneven aantal hokjes (namelijk twee keer het aantal hokjes van de zijde van het vorige vierkant, plus een hokje voor in de hoek).

Deze regelmaat houdt niet op na het kwadraat van 3. Elk kwadraat kan je schrijven als som van opeenvolgende oneven getallen. In formule: n^2 = 1 + 3 + 5 + ... + 2n-1 . Vul voor n maar een getal in om te controleren, bijvoorbeeld: 5^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 .

Dit betekent dat ik de oneindige som uit de tweet anders kan schrijven:

S = \frac{0}{1} + \frac{1}{2} + \frac{4}{4} + \frac{9}{8} + \frac{16}{16} + \frac{25}{32} + \frac{36}{64} + ...= 

\frac{1}{2} + \frac{1+3}{4} + \frac{1+3+5}{8} + \frac{1+3+5+7}{16} + \frac{1+3+5+7+9}{32} + \frac{1+3+5+7+9+11}{64} + ...

In deze nieuwe som zie ik dat al die oneven getallen in meerdere termen in de som voorkomen. De 1 staat in alle termen, de 3 staat in alle termen vanaf de tweede, de 5 staat overal vanaf de derde, etc. Dus ik kan die oneven getallen buiten haakjes halen en de som zo opschrijven:

S = 1 (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + ...) + 3 (\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + ...) + 5 (\frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + ...) +...

Stap 2: oneindig veel machten van 1/2.

De  breuken die tussen de haakjes staan, zijn allemaal machten van 1/2. Een kwart is de helft van een half, dus het kwadraat van 1/2, een achtste is daar weer de helft van, dus is 1/2 tot de derde, etc.

Het plaatje hieronder helpt je om te bedenken wat de uitkomst is van een som met opeenvolgende machten van 1/2. Het vierkant in de linkerhelft van het plaatje stelt het getal 1 voor. De rechthoek er rechts naast is dan 1/2. Rechtsonder staat een kleiner vierkant, zo groot als de helft van de rechthoek, dat is 1/4. Boven dat vierkant staat weer een rechthoek die de helft zo groot is, 1/8 dus.

screen-shot-2017-01-20-at-15-41-12

Figuur 2: de machten van 1/2

Het vierkantje rechtsboven is 1/16, dat zou je weer kunnen verdelen in twee rechthoeken van elk 1/32, waarvan je er dan een kunt verdelen in twee vierkanten, enzovoorts. In de rechterhelft van de tekening, die even groot is als de linkerhelft, passen dus oneindig veel steeds kleinere tegeltjes. Oftewel: de som van alle machten van 1/2, te beginnen bij 1/2 zelf, is… 1:

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} ... = \sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{2})^n =  1 .

De som van alle machten van 1/2, te beginnen bij 1/4, is dan 1 – 1/2 = 1/2 . Enzovoorts.

De som wordt nu: S = 1(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + ...) + 3(\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + ...) + 5(\frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + ...) +... =  1 \cdot 1 + 3 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{1}{4} + ...  = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n+1}{2^n}.

Dit is nog steeds een oneindige som, maar elke term is nu een oneven getal maal een macht van 1/2.

Stap 3: oneindig veel torentjes

torens1

Figuur 3: oneindig veel torens met oneven hoogte

Om de uitkomst van de som te bepalen ga ik torentjes bouwen, met Figuur 2 als grondvlak en de oneven getallen als hoogte. De inhoud van zo’n torentje (grondvlak maal hoogte) is dan precies de grootte van een term uit de som. De uitkomst van de som is de inhoud van alle torentjes samen.

De eerste toren staat op het grote vierkant met oppervlakte 1, en heeft hoogte 1. In de tekening hiernaast is deze “toren” donkerblauw. De tweede toren is donkergroen. Die staat op de rechthoek met oppervlakte 1/2 en heeft hoogte 3. De derde toren met hoogte 5 is lichtblauw en staat op het vierkant met oppervlakte 1/4. Enzovoorts. Elke volgende toren heeft een grondoppervlak dat half zo groot is als dat van de vorige, en is 2 hoger.

De vraag naar de uitkomst van de som is nu geworden: wat is het volume van al deze torentjes samen? Ze worden steeds hoger, en het zijn er oneindig veel, dus het is nog steeds niet duidelijk dat dit een eindig getal oplevert. Daarvoor helpt de volgende truc.

torens2

Figuur 4: de torens als stapel blokken

Ik bekijk de torens nu als een stapel blokken. Twee blokken staan op de grond: de kubus met zijde 1, en een oranje blok met ook een vierkant grondvlak met zijde 1, dat 3 hoog is. Deze twee blokken samen vormen een L van 1 bij 2 bij 3. De uitsparing in de L, de ruimte boven het kubusvormige blok, is 1 bij 1 bij 2.

Bovenop het oranje blok staan kleinere blokken, met allemaal dezelfde hoogte, 2, en steeds kleinere grondvlakken. Het mooie is: die kleinere blokken passen met z’n allen in de uitsparing van de L. Het eerste rode blok heeft (rechthoekige) oppervlakte 1/2 en hoogte 2, dus vult de helft van de uitsparing op. Nog te vullen ruimte: 1/2 bij 1 bij 2. Het oranje blok met vierkante oppervlakte 1/2 bij 1/2 vult hiervan de helft op. Het rode blok met grondvlak 1/2  bij 1/4 vult de helft van het resterende gat. Enzovoorts: net als bij de tegeltjes in Figuur 2, vult elke volgende toren hier de helft van de overgebleven ruimte op. Alle blokken met hoogte 2 passen dus naast elkaar op de kubus, en samen (met zijn oneindigen) vullen ze de uitsparing in de L op.

Conclusie: al deze (oneindig veel) blokken die samen de oneindige torens vormen hebben een volume van 1 x 2 x 3 = 6. En dat is dus ook de uitkomst van de oneindige som waar we mee begonnen:

S = \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{2^n} = \frac{0}{1} + \frac{1}{2} + \frac{4}{4} + \frac{9}{8} + \frac{16}{16} + \frac{25}{32} + \frac{36}{64} + ... = 6 .

QED 😉

Advertenties